تحقیق مسجد امام اصفهان (شاه)

تحقیق در مورد مسجد امام اصفهان (شاه)

مسجدامام‏

این مسجد که در ضلع جنوبى میدان امام قرار دارد در سال 1020 هجرى به فرمان شاه‏ عباس اول در بیست و چهارمین سال سلطنت وى شروع شده و تزئینات و الحاقات آن در دوره جانشینان او به اتمام رسیده است. معمار مهندس آن استاد على‏اکبر اصفهانى و ناظر ساختمان محب‏على بیک الله بوده‏ اند. این مسجد شاهکارهاى جاویدان از معمارى، کاشى‏کارى و نجّارى در قرن یازدهم هجرى است.از نکات‌ جالب‌ توجه‌ این‌ مسجد، انعکاس‌صوت‌ در مرکز گنبد بزرگ‌ جنوبی‌ آن‌ است‌. ارتفاع‌ گنبد مسجد 52 متر و ارتفاع‌ مناره‌های‌ داخل‌ آن ‌48 متر وارتفاع‌ مناره‌های‌ سردر آن‌ در میدان‌ نقش‌ جهان 42 متر است‌. قطعات‌ بزرگ‌ سنگ‌های‌ مرمر یکپارچه‌ وسنگاب‌های‌ نفیس‌، از دیدنیهای‌ جالب‌ این‌ مسجد است‌. کتیبه سر در مسجد به خط ثلث غلیرضاى عباسى و مورخ به سال 1025 حاکى از آن است که شاه عباس این مسجد را از مال خالص خود بنا کرده و ثواب آن را به روح جدا اعظم خود شاه طهماسب اهدا نموده است. در ذیل این کتیبه به خط ثلث محمد رضا امامى، کتیبه دیگرى نصب شده که به موجب آن مقام معمارى و مهندسى معمار مسجد شاه استاد على اکبر اصفهان و ناظر ساختمان محب على بیکالله تجلیل شده است. مسجد شاه یکى از شاهکارهاى معمارى و کاشیکارى و حجارى ایران در قرن یازدهم هجرى است و آخرین سال تاریخى که در مسجد دیده مى‏شود سال 1077 هجرى یعنى آخرین سال سلطنت شاه عباس دوم و 1078 هجرى یعنى اولین سال سلطنت شاه سلیمان است و معلوم مى‏دارد که اتمام تزیینات مسجد در دوره جانشینان شاه عباس کبیر یعنى شاه صفى و شاه عباس دوم و شاه سلیمان صورت گرفته است. کتیبه‏هاى مسجد شاهکار خطاطان معروف عهد صفویه مانند علیرضا عباسى و عبدالباقى تبریزى و محمد رضا امامى است. تزیینات عمده این مسجد از کاشیهاى خشت هفت رنگ است. در مدرسه جنوب غربى مسجد قطعه سنگ ساده‏اى به شکل شاخص در محل معینى تعبیه شده است که ظهر حقیقى اصفهان را در چهار فصل سال نشان مى‏دهد و محاسبه آن را شیخ بهائى دانشمند فقیه و ریاضیدان معروف عهد شاه عباس انجام داده است. از نکات جالب در مسجد شاه انعکاس صورت در مرکز گنبد بزرگ جنوبى است ارتفاع گنبد عظیم مسجد شاه 52 متر و ارتفاع مناره‏هاى داخل آن 48 متر و ارتفاه مناره‏هاى سردر آن میدان نقش جهان 42 متر است. قطعات بزرگ سنگهاى مرمرى یکپارچه و سنگابهاى نفیس از دیدنیهاى جالب مسجد شاه است. این مسجد که ساختمان آن در سال 1020 هجرى قمرى آغاز و در سال 1025 به پایان رسید و براى تزیین آماده شد، از مهمترین مساجد عصر صفویه و در ضلع جنوبى میدان نقش جهان واقع است. تزیینات این مسجد که از سال 1025، زمان سلطنت شاه عباس اول، آغاز شد تا زمان سلطنت دو تن از جانشینان او (صفى و عباس دوم) نیز ادامه یافت. معمار این بنا استاد على اکبر اصفهانى است که نام او به عنوان مهندس و معمار در کتیبه سردرمسجد به خط ثلث آمده است. کتیبه سر در با شکوه مسجد به خط علیرضا عباسى خوشنویس نامدار عصر صفویه است که تاریخ آن سال 1025 ذکر شده است. اسپرهاى طرفین در ورودى 8 لوحه با نوشته هایى مشکى بر زمینه فیزوه‏اى دارند که در هر یک از این اسپرها 4 لوحه کار گذاشته شده. در جلو خان سردر مسجد نیز کتیبه هایى با عبارات و اشعارى وجود دارد. تخت سنگ بزرگى نیز در ضلع غربى جلوخان هست که از نوشته‏ هاى آن تنها بسم الله الرحمن الرحیم به جا ماند. کتیبه نماى خارجى سردر، خط ثلث سفید بر زمینه کاشى خشت وجود دارد. اشعارى به خط نستعلیق در اصلى مسجد را که پوشش نقره و طلا دارد. زینت بخشیده است در این اشعار سال اتمام و نصب در 1038 تا 1052 ذکر شده است. اشعار فوق الذکر 16 بیت است که هشت بیت آن بر یک لنگه و هشت بیت دیگر بر لنگه دیگر آن به طور برجسته نقش بسته است. این در، در ضلع جنوبى واقع است. کتیبه‏ هاى داخل مسجد را خوشنویسانى چون عبدالباقى تبریزى، محمد صالح اصفهانى محمد رضا امامى و محمد غنى نوشته‏اند که از آن جمله‏اند: کتیبه ایوان بزرگ مسجد و اطراف محوطه زیرگنبد به خط عبدالباقى تبریزى کتیبه بالاى محراب مرمرى به خط محمد صالح اصفهان، کتیبه‏هاى چهلستون شرقى گنبد جنوبى به خط محمد رضا امامى و کتیبه داخل ایوان شمالى مسجد به خط عبدالباقى تبریزى. این مسجد عظیم داراى دو شبستان قرینه در اضلاع شرقى و غربى صحن است. یکى از این شبستانها (شبستان شرقى) بزرگتر اما ساده و بى تزیین است و دیگرى (شبستان غربى) کوچکتر است اما تزییناتى با کاشیهاى خشت هفت رنگ دارد و محراب آن نیز از زیباترین محرابهاى مساجد اصفهان است. در دو زاویه جنوب غربى و جنوب شرقى دو مدرسه به طور قرینه قرار دارد که مدرسه زاویه جنوب شرقى را که حجره‏هایى نیز براى سکونت طلاب دارد، مدرسه ناصرى و مدرسه زاویه جنوب غربى را سلیمانیه مى‏نامند. ارتفاع ایوان بزرگ جنوبى مسجد 33 متر است و دو مناره در طرفین آن قرار گرفته‏اند که ارتفاع هر یک از آنها 48 متر است. این دو مناره با کاشى تزیین شده‏اند و نامهاى محمد و على به طور تکراراى به خط بنایى بر بدنه آنها نقش بسته است. گنبد بزرگ مسجد تزئینات جالبى از کاشیکارى دارد و نیز دارى کتیبه‏اى به خط ثلث سفید بر زمینه کاشى خشت لاجوردى است.

تحقیق و بررسی در مورد مسائل اجرائی بتن سبکدانه سازه ای 25 ص

تحقیق و بررسی در مورد تحقیق و بررسی در مورد مسائل اجرائی بتن سبکدانه سازه ای

بسیاری از اصول اجرائی حاکم بر بتن ریزیهای معمولی در بتن ریزی با بتن سبــکدانه سازه ای کماکان از اهمیت برخوردار است . مسلما" در بتن های غیر سازه و سبکدانه بسیاری از نکات مورد نظر نمیتواند با اهمیت تلقی شود و عدم رعایت برخی قواعد تا آنجا که به وزن مخصوص بتن ریخته شده لطمه نزند و آنرا بالا نبرد با اهمیت تلقـــی نمیشـــود.

اصل پیوستگی و تدوام در بتن ریزی ( عدم ایجاد درز سرد ) ، اصل عدم گیرش یا نزدیکی به گیرش در بتن قبل از ریختن و تراکم ، اصل عدم جدا شدگی مواد (نا همگنی ) بتن ، اصل رعایت دمای مناسب بتن ریزی ، اصل عدم آلودگی بتن به مواد مضر ، اصل رعایت تراکم صحیح ، اصل رعایت پرداخت صحیح سطح بتن ، اصل انتخاب صحیح اسلامپ با توجه به وضعیت قطعه و وسایل تراکمی موجود ، اصل رعایت و بکارگیری نسبت ها و مقادیر صحیح مصالح و پرهیز از مصرف مواد نا مناسب ، و در نهایت اصل عمل آوری صحیح و قالب برداری به موقع و با دقت همواره در این نوع بتن ریزیها مانند بتن های معمولی از اهمیت برخوردار می باشد .

استفاده از مواد مناسب و نسبت های صحیح :

بکار گیری مواد و مصالح مناسب طبق مشخصات پروژه ، رعایت مصرف سیمان تازه و غیر فاسد از نوع مورد نظر و مطابق با استاندارد مورد قبول کاملا" مهم می باشد . توزین یا پیمانه کردن دقیق و صحیح مصالح مصرفی طبق طرح اختلاط ارائه شده از اهمیت برخوردار است . بهتر است مصالح سنگی مصرفی به ویژه سبکدانه در شرایطی قرار گیرد که نوسانات رطوبتی اندکی داشته باشد . برای مثال خوبست بدانیم لیکاهای موجود در ایران میتواند تا بیش از 30 درصد آب را در خود جذب و نگهداری کند . بنا براین بین سنگدانه کاملا" خشک و کاملا" اشباع تفاوت فاحشی وجود دارد و میتواند بر اسلامپ حاصله و نسبت آب به سیمان و در نتیجه به مقاومت و دوام بتن سبکدانه سازه ای اثر چشمگیری باقی گذارد . بهر حال اگر بدانیم مثلا" سنگدانه های ما حدود 5 درصد رطوبت دارد میتوانیم مقدار آب مصرفی را تنظیم نمائیم تا به طرح اختلاط مورد نظر دست یابیم .

باید دانست مشکل بزرگ تولید بتن سبکدانه همین تغییر رطوبت است و لذا کنترل نسبت آب به سیمان در این بتن ها مشکل می باشد و حتی مانند بتن های معمولی نیز نمیتوان با کنترل اسلامپ به نتیجه مورد نظر رسید .

انتخاب اسلامپ صحیح :

مانند بتن های معمول انتخاب اسلامپ میتواند مهم باشد . از نظر جدا شدگی ، آب انداختن ، رسیدن به تراکم مورد نظر با توجه به ابعاد قطعه ، طرز قرارگیری ، وضعیت درهمی میلگردها ، وسایل تراکمی موجود قابل تأمین این انتخاب کاملا" معنا دار و با اهمیت است . به دلیل سبکی سنگدانه ها بویژه سبکدانه های درشت احتمال جدا شدگی در بتن شل افزایش می یابد . لذا اسلامپ های بیش از ده سانتی متر ابدا" مطلوب نیست مگر اینکه بتن پر عیاری داشته باشیم ، همچنین با وجود موادی مانند میکرو سیلیس ممکنست این جدا شدگی به حداقل برسد .

بنا براین اگر قرار باشد بتن سبکدانه پمپی با اسلامپ 10 تا 15 سانتی متر را داشته باشیم عیار سیمان باید از حدود 400 کیلو در متر مکعب فراتر رود . در حالیکه اگر اسلامپ کمتر باشد حداقل عیار سیمان در ACI برابرkg/m³ 335 مطرح شده است . در حالات عادی اسلامپ های 5 تا 8 سانتی متر برای بتن سبکدانه غیر پمپی و اسلامپ 7 تا 10 سانتی متر برای بتن سبکدانه پمپی مطلوب تلقی میشود بدون اینکه این اعداد جنبه آئین نامه ای داشته باشد .

تغییرات اسلامپ در طول اجراء در بتن سبکدانه بسیار جدی است . در بتن های معمولی نیز این پدیده به چشم میخورد بویژه وقتی سنگدانه های درشت خیلی خشک باشند ممکن است حتی در طول 15 دقیقه پس از ساخت شاهد افت جدی در اسلامپ باشیم . در بتن سبکدانه این امر به شدت وجود دارد . فرض کنید اگر در طول 15 تا 30 دقیقه جذب آب سبکدانه 5 تا 10 درصد فرض شود و فقط سبکدانه درشت به میزان 300 کیلو داشته باشیم 15 تا 30 کیلو آب را جذب می کند که کاهش اسلامپ 6 تا 15 سانتی متر را میتوان شاهد بود . اگر قرار باشد طول مدت حمل و ریختن و تراکم زیاد باشد کاملا" دچار مشکل میشویم . همچنین در بتن های پمپی ، این کاهش و افت در اسلامپ مسئله ساز است . بنا براین سعی میشود که چنین پروژه هائی حتی الامکان از 24 ساعت قبل از ساخت بتن ، سبکدانه ها را خیس کرد (Presoaking ) تا آب قابل ملاحظه ای را جذب نماید و پس از اختلاط بتن شاهد افت اسلامپ زیادی نباشیم . این خیس کردن ممکن است حتی از سه روز قبل شروع شود ادامه یابد . خیس کردن سنگدانه ممکنست با آب پاشی تحت فشار و بصورت بارانی باشد و یا از سیستم خلاء برای نفوذ سریعتر آب به داخل سبکدانه استفاده شود که در ایران روش ساده اول معمولتر و عملی تر می باشد . ریختن آب و سبکدانه در مخلوط کن و اضافه کردن سیمان و غیره پس از مدتی تأخیر میتواند به افت اسلامپ کمتر منجر شود .

میزان جذب آب سبکدانه ها علاوه بر زمان تابع میزان آب موجود در آن ( رطوبت اولیه ) نیز می باشد که پیش بینی جذب آب را در مدت معین دشوار می کند مگراینکه قبلا" آزمایشهائی را با رطوبت اولیه موجود انجام داده باشیم .

تحقیق در مورد مساجد کرمان

تحقیق در مورد مساجد کرمان

مسجد ملک  

 

یکی از قدیمیترین – بزرگترین مساجد ایران و کرمان است که سابقه تاریخی آن به قرن 5 میرسد – این مسجد با شبستانهای متعدد و صحن وسیع جاذبه تاریخی خود را حفظ کرده است وجود برج آجری و سه محراب گچ بری شده حکایت از قدمت و دیرینگی مسجد دارد.

موقعیت جغراقیائی مسجد:

این مسجد در بافت قدیم شهر کرمان در محله ای وم به شاه عادل بنا شده و از طرف شمال به خیابان امام از طرف جنوب به محله شاه عادل – از طرف شرق به حمام شیخ الاسلام و خانه های مسکونی و از طرف غرب به بازار مسجد ملک ( که تخریب شده ) و خانه های مسکونی متصل است.

تاریخچه مسجد امام باستناد تاریخ :

این مسجد در زمان تورانشاه سلجوقی ساخته شده است چنانچه در سمطالعلی آمده است :

ملک قاوردین جعفر بیگ داودبن میکائیل در ملک بروجحر کرمان و شیراز و عمان و ماهیانی در شبانکاره نافذ امر ونهی شد و بعد از انطوا بساط دولت او پسرش سلطانشاه وارث اعمار و اعمال او گشت و پس از آنکه ده سال از ملک و سلطنت مقرون باین و استقامت تمتع یافت جهان را وداع کرد و برادرش ملک نیکوکار معدلت شعار عماد و الدنیا و الدین ملک تورانشاه تاج و تخت را بزیور فرطلعتش آرایش داد و درست تمام عیار سلطنتش سکه و الهام ولایت داشت و محیای زیبای مملکتش بگلغونه کرامت و تایید مورد بود و جامع ظاهر شهر کرمان و رباط تورانشاهی و غیر هامن بقاع الخیر و ابواب الخیر افراشته و بنا کرده معمار در عدل گستری و رعایت پروری گذرانید به بهشت عدن خرامید سلاله مطعون و نتیجه ملعونش ایرانشاه که پدر چون خاکستر از آتش آمده حاکم شد در تذکره اولیاء آمده :

محمدبن ابراهیم در حکایات عدل ملک تورانشاه بن قرا ارسلان آورده«حالی فرمود تا مهندس ولایت و استادان بنا را حاضر کردند و در ربض بیرون شهر بنای سرای خویش فرمود و در جنب سرای مسجد جامع و مدرسه – خانقاه و بیمارستان و گرمابه و اوقاف شگرف بر آنها نهاد و فرمود تا امراء دولت و صدور حضرت و معارف ولایت همه در ربض منازل ساختند و چون مکالمه دروگروملک روز سه شنبه و همان روز بنا عمارت شد آن محله به محله سه شنبهی معروف گردید.

بر اساس مدارک تاریخی که در کتاب نسب نامه خلفا و شهرباران آمده است مسجدی که در دوران سلجوقی بنا گردید مسجدی بود چهار ایوانی که بیشترین مصالح بکارگرفته شده در آن آجر،خشت خام ،ملات گل و ملات گچ بوده است . شبستانها در حد فاصل ایوانها جای دارد بزرگترین شبستان در ضلع غربی و شمالی بوده است و ضلع جنوبی صرفا به صورت یک کله کار یا دو کله کار ودر امتداد ایوان جنوبی و شرقی جای داشته است که نمای بنا با طرحهای مختلف مرسوم دوران سلجوقی پوشانده شده بود در خاکبرداریها مشخص شد که در بعضی از بخشهای تزئینی نگین های کاشی نیز به ابعاد 5/1*1/5 یا 2*2 بکار رفته رنگ کاشی مذکور فیروزه ای بوده است که با تلفیق با آجر بسیار زیبا بوده است در دوران قاجاریه خانی کوف که از جهانگردان مشهور بوده در مورد مسجد ملک افزوده است : « زمانی که وارد بنای مسجد شدم آنرا کاملا مخروبه یافتم تنها چند قطعه گچ بری در وسط مسجد افتاده بود بدین ترتیب مسجد دوران سلجوقی که اولین مسجد جامع شهر بوده تا قرن هشتم موجودیت خود را به عنوان مسجد جامع شهر حفظ کرده»و بعدا با تاسیس مسجد جامع مظفری جامعیت به آن مسجد منتقل شده است و از رونق مسجد مذکور کاسته و روبه ویرانی گذاشته است

مرمت و مقاوم سازی ساختمانها 13 ص

تحقیق در مورد مرمت و مقاوم سازی ساختمانها 13 صفحه و با فرمت ورد و قابل ویرایش می باشد

مقدمه :

در عملیات مرمت و مقاوم سازی ساختمانهای با مصالح بنایی ، آجری و سنگی ، از روشهای متعددی استفاده می شود ساختمانهای بنایی از جمله سیستمهای دیواری جمال بوده وخسارات لرزه ای یکی از طریق زیر به آنها وارد می شود :

الف ) عدم استحکام و طبیعت کافی ودیافراگم های سقف و کف

ب) عدم وجود شناژعل و کمربند ها یا نیروی کششی بتنی مسلح

ج ) عدم وجود تیرهای کشش بین دیوارهای خارجی سیستم های سقف و کف که دراین صورت دیوار تحت زاویه 90 درجه نسبت به صفحه اش فرو می ریزد همچنین عدم استحکام کافی وناپایداری دیوار ، در مورد سازه های با مصالح سنگی ممکن است به خاطر عدم اتصال کافی درتقاطع دیوارها ، ناپایداری به وجود آید .

اقدامات اضطراری ممکن است شامل آماده نمودن تکیه گاههای تا غرو هماریهای دیواری عرضی جهت جلوگیری از ریزش دیواری لازم باشد تکیه گاههای موقتی ممکن است برای بالکن ها یا کتیبه هایی که به دیوار آسیب دیده متصل شده باشند در محلی که دیوار ما لا بنده شده وبه عنوان موازنه عمل می کند مورد نیاز باشند .

به طور کلی طرحهای مقاوم سازی ساختمانهای با مصالح بنایی باید استحکام

واتصال دیافراگمهای سقف و کت به دیوارها را فراهم ساخته تا در برابر زمین لرزه مقاومت نمایند . در تکامل این روش ها مهندسین در صورت وجود ضعف آشکار در کل سازه نه تنها باید قسمتهای آسیب دیده را تقویت نمایند بلکه دیافراگمهای سقف و کف را درصورت نیاز باید تقویت نمایند ویا ممکن است شناژهای جدیدی اضافه کرده ویا در صورت نیاز مقاطع آسیب دیده در زلزله تخریب و باز سازی شوند .

توجه در پایان گذارش شکلهایی که شماره های آنها در متن ذکر شده است ضمیمه شده اند .

تحقیق مرکز سطح

تحقیق در مورد مرکز سطح دارای 34 صفحه و با فرمت word وقابل ویرایش میباشد

­فهرست مطالب

 

تعیین مرکز سطح 1

محاسبه ممان اینرسی 2

ممان اینرسی حاصلضرب 3

قضایای پاپوس 4

تعیین مرکز سطح

وقتی جسمی با چگالی ρ، ضخامت اندک و ثابتی برابر t داشته باشد، مطابق شکل زیر می‌توان آن را به صورت سطح مسطح A مدل‌سازی کرد. جرم هر جزء از این سطح عبارت است از dm=ρtdA. در این حالت اگر ρ و t در سرتاسر جسم ثابت باشند، مختصات مرکز جرم جسم، همان مختصات مرکز هندسی سطح (C) خواهد بود و با استفاده از معادله زیر می‌توان مختصات آن را بصورت زیر تعیین کرد:

 

صورت کسرهای معادلات فوق را گشتاور اول سطح می‌نامند. اگر سطح مطابق شکل زیر خمیده باشد، با هر سه نقطه سروکار داریم. در حالت کلی مرکز هندسی C سطح خمیده، روی آن سطح واقع نیست، اگر سطح موردنظر سطحی صاف (مثلاً در صفحه y-z) باشد، فقط باید مختصات C در آن صفحه را تعیین کرد.

 

در زیر چند عدد از مختصات‌ مرکز هندسی اشکال متداول آورده شده است:

مرکز هندسی کمان دایره:

 

مرکز هندسی سطح مثلث

 

مرکز سطح قطاع دایره:

 

محاسبه ممان اینرسی

هرگاه بر عضوی از سازه لنگری خمشی وارد شود، این عضو تمایل به انحنا دارد. سختی این عضو در برابر انحناء را بوسیله ممان اینرسی مقطع نشان می‌دهند. بعد ممان اینرسی از نوع طول می‌باشد و بر حسب توان چهارم سانتیمتر یا میلیمتر بیان می‌شود. هرچند ممان اینرسی بستگی به محوری دارد که ممان اینرسی نسبت به آن سنجیده می‌شود، اما در مسائل مربوط به محاسبه آن، ممان اینرسی را باید نسبت به تار خنثی بدست آوریم. ممان اینرسی مقاطع سازه در جدول‌هایی آمده است. مثلاً برای مقطع مستطیلی داریم:

 

اما برای مقاطع مرکب از رابطه کلی زیر استفاده می‌کنیم:

 

که در آن:

I_n: ممان اینرسی کل مقطع نسبت به محور خنثی

M: ممان لنگر استاتیک تمام اجزاء نسبت به محور مبنای y-y

A: مجموع سطوح تمام اجزای مقطع

I_y: ممان اینرسی نسبت به مرکز سطح هر جزء

ممان اینرسی حاصلضرب

ممان اینرسی حاصلضرب برای یک مقطع که از چندین جزء تشکیل شده است، عبارت است از مجموع جبری ممان اینرسی‌های حاصلضرب قسمت‌های مختلف آن.

 

که Ixy اگر در ربع اول و سوم باشد، با علامات مثبت و اگر در ربع دوم و چهارم باشد، با علامت منفی نشان داده می‌شود.

قضایای پاپوس

این قضیه روشی بسیار ساده است که برای محاسبه مساحت سطح حاصل از دوران یک منحنی مسطح حول محوری که صفحه منحنی را قطع نمی‌کند. در شکل زیر پاره خطی به طول L در صفحه x-y، وقتی حول محور x دوران می‌کند، سطحی را تولید می‌کند. جزئی از این سطح حلقه‌ای است که توسط dl تولید می‌شود. مساحت کل این حلقه برابر است با:

 

که در آن مختصه y مرکز سطح C خطی به طول L است.

رابطه ساده‌ای نیز برای محاسبه حجم حاصل از این دوران وجود دارد که به طریق مشابه بدست می‌آید. این رابطه به صورت زیر می‌باشد:

 

دو قضیه پاپوس، که توسط معادله‌های فوق بیان شدند، در تعیین سطح و حجم حاصل از دوران بکار می‌روند. در این روابط اگر خط یا سطحی به اندازه دوران کند، می توان با جایگزین کردن 2π با θ، معادله‌های سطح یا حجم تولید شده را بصورت زیر نوشت:

 

که در آن θ بر حسب رادیان است.

این قضایا منسوب به پاپوس اسکندرانی، هندسه‌دان یونانی که در قرن سوم قبل از میلاد می‌زیست، می‌باشد. این قضایا غالباً با نام گولدنیوس (پل گولدین 1643-1577) مطرح می‌شوند که مدعی ابداع آنها بود. هرچند یقین داریم که از آثار پاپوس اطلاع داشته است.